Решение задачи по математике является одним из основных занятий студента технического вуза. В зависимости от направления специальности, условия задач могут быть различные.
Некоторые задачи по математике бывают простые, другие сложные.
Одна из первых задач, с которой сталкивается студент вуза, это задача нахождения предела последовательности.
Вычислить предел числовой последовательности
Решение.
Раскроем скобки и приведём подобные:
Вынесем 
за скобки и сократим. Получим
Воспользуемся теоремой о пределе суммы, разности и частного последовательностей:
Ответ:
Несмотря на кажущуюся искусственность, это вычисление предела есть очень важная задача по математике. Так как и производная и все разновидности интегралов являются пределами. Математики выработали различные приёмы решения задач на дифференцирование и интегрирование без использования пределов. Однако это не умаляет данного факта. Для студента лучше, если он с самого начала изучения математики, научиться решать задачи на вычисление пределов.
Следующая важная математическая задача — это задача вычисления предела функции.
Вычислить предел функции
.Решение.
Используем формулы
; 
. Тогда предел запишется
. С другой стороны
Поэтому предел запишется
Ответ: 
.
Функция является одним из важнейших объектов, изучаемых студентами высших учебных заведений. С ними связаны не только задачи вычисления пределов, но и различные задачи дифференцирования и интегрирования. К исследованию функций приводят различные задачи по математике, физике, экономике, химии и ряда других дисциплин. Для решения этих задач, студенту необходимо научиться искать производную. Поиск производной является одной из самых важных задач математики на начальном этапе обучения.
Найти производную
Решение.
Дифференцируем сложно показательную функцию:
Получим:
Ответ:
Производная от производной функции называется второй производной. Производная от второй производной называется третьей производной. И так далее.
Найти производную пятого порядка.
Решение.
Дифференцируем функцию пять раз:
Ответ:
С вычислением производных связаны задачи по математике приводящие к исследованию функций, нахождению наибольшего и наименьшего значений, нахождению максимума и минимума, поиску касательной и нормали к графику функции
Составить уравнение касательной к кривой в точке, соответствующей значению параметра t=t0.
Решение.
Найдём координаты точки:
Найдём производные:
Тогда производная функции, заданной параметрически:
В точке 
имеем
Уравнение касательной
Для нашего случая получаем уравнение касательной:
Ответ: Уравнение касательной -
Важнейшая задача по математике это задача нахождения неопределённого интеграла и задача вычисления определённого интеграла. Операция интегрирования, в некотором смысле, является операцией, противоположной операции дифференцирования.
Найти неопределенный интеграл
.Решение.
Сделаем замену 
.
Тогда
и
.Интеграл запишется
.Сделаем проверку. Для этого продифференцируем полученное выражение:
. Получилась исходная подынтегральная функция. Следовательно, интеграл найден верно.
Ответ:
. Необходимость интегрирования функций возникает при рассмотрении различных прикладных вопросов. Например, вычисление площади фигуры вычисление длины дуги, вычисление объёма тела.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.
Решение.
Это уравнения циклоиды (см. рис). Найдём её пересечения с прямой 
Отсюда
.
Площадь искомой фигуры равна
Подставим значения
.Площадь запишется
Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
К интегрированию приводит решение дифференциальных уравнений.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
. (Ответ представить в виде 
. )
Решение.
Заданное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные. Для этого поделим обе части равенства на
.В результате получим
.Проинтегрируем полученное уравнение с разделёнными переменными
. Вычислим полученные интегралы, внося 
и 
под знак дифференциалов
.Тогда общее решение дифференциального уравнения запишется в виде
.Ответ: Общее решение дифференциального уравнения
.Задачи по математике весьма разнообразны. Здесь приведены отдельные примеры. Другие задачи Вы можете найти в различных сборниках задач по математике.
Физика на заказ. Решение задач
Решение задач по математике
Помощь в решении задач по физике и математике